Giả sử ta có nhóm đầy đủ các biến cố( nghĩa là 2 biến cố bất kỳ đều xung khắc với nhau và tổng của n biến cố này tương đương với biến cố chắc chắn:Biến cố A cần tìm xác suất quan hệ với nhóm đầy đủ như sau: Biến cố A xẩy ra thì suy ra xảy ra biến cốnào đó; còn ngược lại nếu xảy ra biến cốnào đó thì chưa khẳng định biến cố A xảy ra. Khi đó P(A) được tính như sau:

(Công thức đầy đủ)

k=1,,n (Công thức Bayes)

Nhận xét.

Cái khó khi tính xác suất bằng công thức đầy đủ và công thức Bayes là phải nhận ra được mô hình bài toán và phải chỉ ra được nhóm đầy đủ các biến cố.

Trước hết ta thấy rằng nhóm đầy đủ là không duy nhất. Chẳng hạnnhóm đầy đủ thìcũng đều là nhóm đầy đủ. Vấn đề ta phải chọn nhóm đầy đủ nào có quan hệ với biến cố A phù hợp vớ mô hình?

Nếu bài toán đề cập đến 2 phần, biến cố A liên quan trực tiếp đến phần sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp xẩy ra ở phần đầu. Nếu phép thử gồm 2 bước hay 2 giai đoạn; biến cố A liên quan trực tiếp đến bước sau hay giai đoạn sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp có thể của bước một hay giai đoạn 1.

Ví dụ 1. Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của phân xưởng I chiếmsản lượng của nhà máy. Tương tự, phân xưởng II và phân xưởng III chiếmTỷ lệ chính phẩm của từng phân xưởng tương ứng làvà

a) Tìm tỷ lệ chính phẩm chung của toàn nhà máy.

b) Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm của nhà máy ta bị cái phế phẩm. Hãy đoán xem phế phẩm đó là do phân xưởng nào làm ra?

Lời giải.

a) Bài toán này đề cập đến 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm. Việc tìm tỷ lệ chính phẩm chung của nhà máy tương đương với việc tính xác suất của biến cố: A={Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm, được chính phẩm}. Biến cố A liên quan trực tiếp đến chính phẩm. Do đó theo nhận xét trên nhóm đầy đủ sẽ là:={Sản phẩm của phân xưởng i}; i=1,2,3.

Vậy ta có:

(Ở đây các xác suất có điều kiện được tính trực tiếp. Diễn đạt thành lời: $P(A/{B_1})$ là xác suất để lấy ra một chính phẩm với điều kiện các sản phẩm này do phân xưởng I làm ra hay là xác suất để lấy ra một chính phẩm của phân xưởng I; theo đề bài ta có ngay 0,94)

b) Để trả lời câu hỏi b) ta dùng công thức Bayes

Vậy ta nên đoán phế phẩm lấy ra là của phân xưởng I làm ra. Trả lời như vậy khả năng đúng là cao nhất.

Ví dụ 2. Có hai lô sản phẩm. Lô I có 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lô II có 16 chính phẩm và 4 phế phẩm. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm.

Giải. Phép thử ở đây gồm hai bước, A={Sản phảm lấy ra sau cùng là chính phẩm} cho nên nhóm đầy đủ gồm bốn trường hợp xảy ra có thể của bước 1.

Đặt={ Sản phẩm lấy ra từ lô I là chính phẩm}; i=1,2.

Khi đó nhóm đầy đủ:

Ta có

Tương tự

Ta có( Lấy ra 1 sản phẩm từ 2 chính phẩm thì chắc chắn được chính phẩm nên xác suất bằng 1)

(Lấy 1 sản phẩm từ 2 sản phẩm trong đó có một chính phẩm và một phế phẩm nên xác suất bằng 1/2)

( Lấy từ 2 phế phẩm ra 1 sản phẩm thì không thể được chính phẩm)

Vậy P(A)=(1/240).(160.1+40.1/2+3.1/2+8.0)=196/240=0,8167

Ví dụ 3. Có hai lô gà giống. Lô I gồm 15 con, trong đó có 3 con trống. Lô II gồm 20 con, trong đó có 4 con trống. Một con từ lô II nhảy sang lô I. Từ lô I ta bắt ngẫu nhiên ra 1 con. Tìm xác suất để con gà bắt ra là gà trống.

Lời giải. Phép thử gồm 2 bước. Bước 1: con gà nhảy sang. Bước 2: con gà bắt ra. Biến cố A={Con gà bắt ra là gà trống}. Bước một có 2 trường hợp có thể, nên nhóm đầy đủ có 2 biến cố B và , trong đó B={Con gà nhảy từ lô II là gà trống}. Ta có

(Bắt ra 1 con từ lô I, mà lô I có 16 con trong đó có 4 trống).

(Lô I bây giờ có 16 con, trong đó có 3 trống).

P(A) = 0,2.4/16 + 0,8.3/16 = 0,2

Ví dụ 4. Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả còn mới. Hôm qua nhóm tập đã lấy ra 3 quả để chơi, sau đó trả lại vào hộp. Hôm nay nhóm tập lại lấy ra 3 quả. Tìm xác suất để 3 quả bóng lấy ra hôm nay đều là bóng mới.

Lời giải. Ở đây phép thử gồm 2 bước: Hôm qua lấy ra 3 quả và hôm nay lấy ra 3 quả. Biến cố A={Ba quả bóng bàn lấy ra hôm nay là mới}. Do đó nhóm đầy đủ gồm 4 trường hợp xảy ra ở bước 1(Ba quả lấy ra hôm qua).

Gọi={3 quả bóng lấy ra hôm qua là mới}, i=0,1,2,3.

Ta có(Các xác suất này được tính theo cổ điển).

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: