Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz là 1 dạng gây khó khăn cho nhiều học sinh khi làm bài tập. Tuy nhiên, nếu nhớ chính xác các công thức thì dạng toán này lại trở lên dễ dàng hơn

Cơ sở lý thuyết

Bài toán. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1, Δ2. Hãy xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng này?

Hướng dẫn

Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian, ta phân làm 2 trường hợp riêng biệt

Trường hợp 1: Nếu Δ1// Δ2, nghĩa là Δ1: $\left\{ \begin{array}{l} x = {x_1} + a{t_1}\\ y = {y_1} + b{t_1}\\ z = {z_1} + c{t_1} \end{array} \right.,\,\left( {{t_1} \in R} \right)$ và Δ2: $\left\{ \begin{array}{l} x = {x_2} + ka{t_2}\\ y = {y_2} + kb{t_2}\\ z = {z_2} + kc{t_2} \end{array} \right.,\,\left( {{t_2} \in R} \right)$

Từ phương trình của đường thẳng ta suy ra

• M1(x1, y1, z1) và M2(x2, y2, z2)
• Vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = (a; b; c)

Lúc này, công thức tính khoảng cách:

d(Δ1, Δ2) = $\frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Trường hợp 2: Nếu Δ1, Δ2 chéo nhau thì Δ1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_1} + {a_1}{t_1}}\\ {y = {y_1} + {b_1}{t_1}}\\ {z = {z_1} + {c_1}{t_1}} \end{array}} \right.,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {{t_1} \in R} \right)$ và Δ2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_2} + {a_2}{t_2}}\\ {y = {y_2} + {b_2}{t_2}}\\ {z = {z_2} + {c_2}{t_2}} \end{array}} \right.,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {{t_2} \in R} \right)$

Từ phương trình của 2 đường thẳng ta suy ra

• Hai điểm bất kì M1(x1, y1, z1) Δ1 và M2(x2, y2, z2) Δ2
• Vecto chỉ phương của Δ1: $\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1};{b_1};{c_1})$ và Δ2: $\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2};{b_1};{c_2})$

Lúc này, công thức tính khoảng cách: d(Δ1, Δ2) = $\frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right).\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Bài tập có lời giải

Nếu bạn còn thắc mắc về cách về cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song hay cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì vui lòng để lại phần bình luận bên dưới, để toanhoc.org giải đáp giúp bạn.